Question

如圖，已知⊙O的半徑為10，點(diǎn)C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，

AC

的度數(shù)為96°，

BD

的度數(shù)為36°，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+DP的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題

專題：

分析：根據(jù)軸對(duì)稱，作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD最小，就等于DE的長(zhǎng)．由題意可知∠DOE=120°，然后在△DOE中求出DE的長(zhǎng)．

解答：解：如圖：點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可知：PC=PE．
由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)DE的長(zhǎng)就是PC+PD的最小值．
∵

AC

的度數(shù)為96°，

BD

的度數(shù)為36°，
∴

AE

的度數(shù)為96，

BE

的度數(shù)為84°，∴

DBE

的度數(shù)=84°+36°=120°．
∴∠DOE=120°，∠E=30°，
過(guò)O作ON⊥DE于N，則DE=2DN，
∵cos30°=

EN

OE

，
∴EN=

3

2

OE=

3

2

×10=5

3

，
即DE=2EN=10

3

，
所以PC+PD的最小值為10

3

．
故答案為10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱找出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E，由兩點(diǎn)之間線段最短，確定DE的長(zhǎng)就是PC+PD的最小值是本題的關(guān)鍵．