Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AD平分∠BAC，與BC交于點(diǎn)G，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）找出圖中相等的弦；
（2）求證：△BDG∽△ABD；
（3）求證：EC=BF．

Answer 1

（1）解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD；

（2）證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DBC=∠DAC=∠BAD，
∵∠GDB=∠BDA，
∴△BDG∽△ADB；

（3）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF=DE，且∠F=∠DEC=90°，=，BD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△EDC，
∴EC=BF．
分析：（1）根據(jù)弦AD平分∠BAC可知∠BAD=∠CAD，由圓心角、弧、弦的關(guān)系可知BD=CD；
（2）由AD平分∠BAC，可知∠DBC=∠DAC=∠BAD，再根據(jù)∠GDB=∠BDA即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，可知DF=DE，且∠F=∠DEC=90°，=，BD=CD，由HL定理可得出Rt△BDF≌Rt△EDC，故可得出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查的是圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．