Question

【探究】如圖1，在△ABC中，D是AB邊的中點，AE⊥BC于點E，BF⊥AC于點F，AE，BF相交于點M，連接DE，DF．則DE，DF的數量關系為

 

．
【拓展】如圖2，在△ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在△ABC的內部，且∠MBC=∠MAC．過點M作ME⊥BC于點E，MF⊥AC于點F，連接DE，DF．求證：DE=DF；
【推廣】如圖3，若將上面【拓展】中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理

專題：

分析：探究：依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得．
拓展：連接CD，可證得CD是角ACD的平分線，根據△CMF≌△CME可求得CF=CE，從而求得AF=BE，然后再證得△CFD≌△CED即可求得．
推廣：作△ABM的中位線DG、DF，可得DH=FG，DG=HE，四邊形DHMG是平行四邊形，根據已知和平行四邊形求得∠DGF=∠DHE，求得△DHE≌△FGD，從而求得結論．

解答：解：【探究】DE=DF．

【拓展】如圖2，連接CD．
∵在△A B C中，C B=C A，
∴∠CAB=∠CBA．
∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MAB=∠MBA，
∴AM=BM．
∵點 D是 邊 AB的 中點，
∴點M在CD上，
∴CM平分∠FCE．
∴∠FCD=∠ECD．
∵ME⊥BC于E，MF⊥AC于F，
∴MF=ME．
在△CMF和△CME中，

MF=ME ∠FCD=∠ECD CM=CM

∴△CMF≌△CME（SAS）．
∴CF=CE．
在△CFD與△CED中

CF=CE ∠FCD=∠ECD CD=CD

∴△CFD≌△CED（SAS）．
∴DE=DF，

【推廣】DE=DF．
如圖3，作AM的中點G，BM的中點H．
∵點 D是 邊 AB的 中點，
∴DG∥BM，DG=

1

2

BM．
同理可得：DH∥AM，DH=

1

2

AM．
∵ME⊥BC于E，H 是BM的中點，
∴在Rt△BEM中，HE=

1

2

BM=BH．
∴DG=HE，
同理可得：DH=FG．
∵DG∥BM，DH∥GM，
∴四邊形DHMG是平行四邊形．
∴∠DGM=∠DHM．
∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC，
又∵∠MBC=∠MAC，
∴∠MGF=∠MHE．
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE．
∴∠DGF=∠DHE，
在△DHE與△FGD中，

DG=HE ∠DGF=∠DHE DH=FG

∴△DHE≌△FGD（SAS），
∴DE=DF．

點評：本題考查了直角三角形的性質的運用，等腰三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，三角形的中位線的性質的運用，直角三角形的斜邊上的中線的性質的運用，平行四邊形性質的運用，解答時根據三角形的中位線的性質制造全等三角形是解答本題的關鍵．