Question

矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE⊥AC于點E，點F在EB延長線上，BF=AC，連接DF交AB于點G．
（1）求證：∠ADG=∠CDG；
（2）若AO=AG，矩形ABCD的面積為9

3

，求FG長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ADC=90°，CD∥AB，AC=BD，AC=2OA，BD=2OB，推出OA=OB，推出∠OAB=∠OBA，求出∠EOB=2∠OBA，∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG，求出∠BDG+∠OBA=45°，代入∠OBA=∠ODC求出∠CDG=45°即可；
（2）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠DAG=90°，根據(jù)∠DGA=∠ADG=45°求出AD=AG，得出△ADO是等邊三角形，推出∠DAO=60°，∠CAB=30°，求出AC=2BC，AB=

3

BC，根據(jù)S_矩形ABCD=

3

BC×BC=9

3

求出BC=3，求出AB=3

3

，過F作FH⊥AB交AB延長線于H，證△FBH≌△ACB，推出FH=AB=3

3

，求出GH=FH，在Rt△FGH中，根據(jù)勾股定理求出FG=

FH2+GH2

=

2

FH，代入求出即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD∥AB，AC=BD，AC=2OA，BD=2OB，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠EOB=∠OAB+∠OBA=2∠OBA，
∵BD=AC，AC=BF，
∴BD=BF，
∴∠F=∠BDF，
∴∠EBO=∠F+∠BDF=2∠BDG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°，
∴∠EBO+∠EOB=90°，
∴2∠BDG+2∠OBA=90°，
∴∠BDG+∠OBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠OBA=∠ODC，
∴∠ODC+∠BDG=45°，
即∠CDG=45°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=90°-45°=45°，
∴∠ADG=∠CDG．

解：（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAG=90°，
∴∠DGA=∠ADG=45°，
∴AD=AG，
∵AO=OB=OD=AG，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等邊三角形，
∴∠DAO=60°，∠CAB=30°，
∵∠ABC=90°，
∴AC=2BC，AB=

AC2-BC2

=

3

BC，
∴S_矩形ABCD=

3

BC×BC=9

3

，
∴BC=3，
∴AB=3

3

，
∵∠CAB=30°，∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°，
過F作FH⊥AB交AB延長線于H，
∵∠FBH=∠ABE=60°，∠BHF=∠ABC=90°，
∴∠CBE=90°-60°=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°=∠FBH，
在△FBH和△ACB中

∠ACB=∠FBH ∠ABC=∠H AC=BF

∴△FBH≌△ACB（AAS），
∴FH=AB=3

3

，
∵∠HGF=∠DGA=45°，∠FHG=90°，
∴∠HFG=45°，
∴GH=FH，
∴在Rt△FGH中，F(xiàn)G=

FH2+GH2

=

2

FH=

2

×3

3

=3

6

，
即FG=3

6

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，難度偏大．