Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²(2k+3)x+ k²+3k+2=0

（1）試判斷上述方程根的情況．

（2）若以上述方程的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

（3）已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，BC的長(zhǎng)為5．

①當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形?

②當(dāng)k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形?請(qǐng)求出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)．

   

Answer 1

(1)由方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0，得b²4ac=1,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2分）

(2) 設(shè)方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的兩個(gè)根為，，根據(jù)題意得．  （3分）

又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，                 （4分）

，                                      （5分）

所以，當(dāng)k＝時(shí),m取得最小值                                   （6分）

(3)①x₁=k +1，x₂=k+2．不妨設(shè)AB=k+1，AC=k+2． 斜邊BC=5時(shí)，有AB²+AC²=BC²，即(k+1)²+(k+2)²=25                                                    （7分）

解得k₁=2，k₂=5(舍去)                                               （8分）

 當(dāng)k=2 時(shí)，△ABC是直角三角形                                       （9分）

（此題也可用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解）

② AB=k+1，AC=k+2，BC=5,   由（1）知AB≠AC                       （10分）

故有兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)AC=BC=5時(shí)，k+2=5，k=3．也可用根的定義代入求解             （11分）

5、5、4能組成三角形△ABC的周長(zhǎng)為5+5+k+1=14                 （12分）

（Ⅱ）當(dāng)AB=BC=5時(shí)，k+1=5，k=4．5、5、6能組成三角形△ABC的周長(zhǎng)為5+5+k+2=16．

故△ABC的周長(zhǎng)分別是14和16