Question

2．如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為F，E為BA延長線上的一點(diǎn)，連接CE、CA，∠ECA=∠ACD．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）若EA=2，tanE=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，∠ACD=∠ABC，結(jié)合∠OCB+∠OCA=90°即可；
（2）在Rt△ECO中，tan∠E=$\frac{3}{4}$，設(shè)OC=R，得到CE=$\frac{4}{3}$R，OE=R+2即可．

解答 （1）證明：連接BC，OC，
∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ACD=∠ABC，
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∴∠ACD=∠OCB，
∵∠ECA=∠ACD．
∴∠EAC=∠OCB，
∵∠OCB+∠OCA=90°，
∴∠ECA+∠OCA=90°，
∴∠OCE=90°，
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴CE是⊙O的切線．
（2）在Rt△ECO中，tan∠E=$\frac{3}{4}$，設(shè)OC=R，
∴CE=$\frac{4}{3}$R，OE=R+2，
∴（$\frac{4}{3}$R）²+R²=（R+2）²，
∴R=3或R=-$\frac{3}{4}$（舍）．

點(diǎn)評 此題是切線的判定，涉及到圓中的性質(zhì)，弦切角，勾股定理，判斷∠OCE=90°是解本題的關(guān)鍵，