Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求證：BG²﹣GE²=EA²．

Answer 1

證明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°， ∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°， ∴DB=DC，∠ABE=∠DCA， ∵在△DBH和△DCA中， ∴△DBH≌△DCA， ∴BH=AC； （2）連接CG， ∵F為BC的中點(diǎn)，DB=DC， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG， ∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴∠AEB=∠CEB， ∵在△ABE和△CBE中， ∴△ABE≌△CBE，   ∴EC=EA， 在Rt△CGE中，由勾股定理得： BG2﹣GE2=EA2．