Question

如圖，已知拋物線經過A（3，0）、B（0，4）

（1）求此拋物線的解析式;

（2）若拋物線與軸的另一個交點為C，求點C關于直線AB的對稱點的坐標;

（3）若點C是第二象限內一點，以點D為圓心的圓分別與軸、軸、直線AB相切于點E、F、H，問在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得的值最大？若存在，求出該最大值;若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（，）（3）存在，

【解析】解：（1）由題意得：     解得：

   ∴拋物線解析式為.················· 3分

（2）令，得

解得：，=3.

∴C點坐標為（1，0）.  ············· 4分

作CQ⊥AB，垂足為Q，延長CQ，使CQ=Q，則點

就是點C關于直線AB的對稱點．

由△ABC的面積得：

,

∵CA=2，

∴CQ=，=.  ························· 6分

作T⊥軸，垂足為T，則△∽△BOA.

∴    ∴=，=

∴=1+=  ∴點的坐標為（，） ··········· 8分

（3）設⊙D的半徑為，∴AE=+3，BF=4－，HB=BF=4－.

∵AB=5，且AE=AH,

∴+3=5+4－,

∴=3．    ············· 10分

HB=4－3=1.

作HN⊥軸，垂足為N，

則，,

∴HN=，BN=,

∴H點坐標為（，）.······ 12分

根據拋物線的對稱性，得PA=PC,

∵,

∴當H、C、P三點共線時，最大.

∵HC==,

∴的最大值為.

（1）用待定系數(shù)法求得拋物線解析式

（2）求出C點坐標，作CQ⊥AB，垂足為Q，延長CQ，使CQ=C'Q，則點C’就是點C關于直線AB的對稱點．通過△ABC的面積，求出，作T⊥軸，垂足為T，通過△∽△BOA. 求出、，從而得出結論

（3）設⊙D的半徑為，通過AB=5，且AE=AH,求得=3，作HN⊥軸，垂足為N，通過△HNB∽△OAB，求得H點坐標，根據拋物線的對稱性，得PA=PC, 當H、C、P三點共線時，最大.利用勾股定理求出HC的長，即為最大值