Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過x軸上點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），且與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求∠CPB的正弦值．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過x軸上點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），
∴，
解得，
∴此二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3．
∵-=2，=-1，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）．

（2）∵y=x²-4x+3，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
又∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∴PB==，
BC==3，
PC==2，
∴PB²+BC²=PC²，
∴∠PBC=90°，
∴sin∠CPB=．
分析：（1）將點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0）的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c，用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；再利用頂點(diǎn)公式求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）首先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再分別計(jì)算PB、BC、PC的長度，然后由勾股定理的逆定理，知△PBC是直角三角形，最后根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義求出∠CPB的正弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法及正弦的定義．
在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．
求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）；也可以將解析式配方成頂點(diǎn)式來求．
在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于它的對(duì)邊比斜邊．