Question

（2012•大連二模）如圖，在正方形ABCD中，點M在邊AB上，點N在邊AD的延長線上，且BM=DN．點E為MN的中點，DE的延長線與AC相交于點F．試猜想線段DF與線段AC的關(guān)系，并證你的猜想．

Answer 1

分析：猜想：線段DF垂直平分線段AC，且DF=

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AC，過點M作MG∥AD，與DF的延長線相交于點G，作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG． 根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明△AMG≌△CHG即可．

解答：猜想：線段DF垂直平分線段AC，且DF=

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AC，
證明：過點M作MG∥AD，與DF的延長線相交于點G．
則∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，
∵∠MEG=∠NED，ME=NE，
∴△MEG≌△NED，
∴MG=DN．
∵BM=DN，
∴MG=BM． 
作GH⊥BC，垂足為H，連接AG、CG． 
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，
∴四邊形MBHG是矩形． 
∵MG=MB，
∴四邊形MBHG是正方形，
∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，
∴AM=CH，
∴△AMG≌△CHG．
∴GA=GC．
又∵DA=DC，
∴DG是線段AC的垂直平分線．
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴DF=

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AC
即線段DF垂直平分線段AC，且DF=

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AC．

點評：本題綜合考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，此題綜合性比較強，難度較大，但題型較好，訓練了學生分析問題和解決問題以及敢于猜想的能力．