Question

2．點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．
（1）如圖1，以BD、BE為邊分別作正△BMD和正△BEN，連結(jié)MF、FN、MN．求證：△FMN是等邊三角形．
（2）如圖2，以BD、BE為邊分別作正方形BPMD和正方形BQNE，連結(jié)MF、NF、MN，求∠MFN的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根據(jù)三角形的中位線推出平行四邊形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，證△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFN=∠MDB即可；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根據(jù)三角形的中位線推出平行四邊形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，證△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFN=∠MDB即可；

解答 解：（1）連接FD、FE，
∵△BDM和△BEN是等邊三角形，
∴∠MDB=60°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴DFEB是平行四邊形，
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB，
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EF}\\{∠MDF=∠FEN}\\{DF=EN}\end{array}\right.$，
∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
∵∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=60°，
∴△FMN是等邊三角形；
（2）△FMN是等腰直角三角形，且∠MFN為90°，
理由是：連接FD、FE，
∵四邊形BDMP和四邊形BENQ是正方形，
∴∠MDB=90°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴四邊形DFEB是平行四邊形，
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=EF}\\{∠MDF=∠FEN}\\{DF=EN}\end{array}\right.$，
∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
∵∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=90°，
故∠MFN=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形全等的判定方法及三角形中位線的性質(zhì)、證明方法的遷移，屬中等難度題型．