Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，AC=2，過點(diǎn)C作⊙O的切線DC，P點(diǎn)為優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與A．C重合）．
（1）求∠APC與∠ACD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CB弧的中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形OBPC是菱形．
（3）P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，△APC與△ABC全等，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC，如圖所示：

∵AC=2，OA=OB=OC= AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC= ∠AOC=30°，
又DC與圓O相切于點(diǎn)C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°；
（2）連接PB，OP，
∵AB為直徑，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到CB的中點(diǎn)時(shí)，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都為等邊三角形，
∴AC=CP=OA=OP，則四邊形AOPC為菱形；
（3）當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，△ABC與△APC重合，顯然△ABC≌△APC；
當(dāng)點(diǎn)P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到CP經(jīng)過圓心時(shí)，△ABC≌△CPA，
理由為：
∵CP與AB都為圓O的直徑，
∴∠CAP=∠ACB=90°，在Rt△ABC與Rt△CPA中，  ，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．