Question

如圖，直線(xiàn)y=2x+m（m＞0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），直線(xiàn)y=-x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，并與直線(xiàn)y=2x+m（m＞0）相交于點(diǎn)D，若AB=4．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求出四邊形AOCD的面積；
（3）若E為x軸上一點(diǎn)，且△ACE為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：兩條直線(xiàn)相交或平行問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x+m得到m=4，則y=-2x+4，再利用AB=4可得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+n可得到n=2，則y=-x+2，然后根據(jù)兩直線(xiàn)相交的問(wèn)題，通過(guò)解方程組

y=-x+2 y=2x+4

得到D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），然后利用四邊形AOCD的面積=S_△DAB-S_△COB進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）先利用A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到△ACO為等腰直角三角形，AC=2

2

，然后分類(lèi)討論：當(dāng)AE=AC=2

2

時(shí)，以A點(diǎn)為圓心，2

2

畫(huà)弧交x軸于E₁點(diǎn)和E₂點(diǎn)，再寫(xiě)出它們的坐標(biāo)；當(dāng)CE=CA時(shí)，E₃點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即可得到它的坐標(biāo)；當(dāng)EA=EC時(shí)，E₄點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

解答：解：（1）把A（-2，0）代入y=2x+m得-4+m=0，解得m=4，
∴y=-2x+4，
∵AB=4，A（-2，0），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
把B（2，0）代入y=-x+n得-2+n=0，解得n=2，
∴y=-x+2，
解方程組

y=-x+2 y=2x+4

得

x=- 2 3 y= 8 3

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

，

8

3

）；
（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+2=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴四邊形AOCD的面積=S_△DAB-S_△COB
=

1

2

×4×

8

3

-

1

2

×2×2
=

10

3

；
（3）∵A（-2，0），C（0，2），
∴AC=2

2

，
當(dāng)AE=AC=2

2

時(shí)，E₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（2

2

-2，0），E₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2

2

-2，0）；
當(dāng)CE=CA時(shí)，E₃點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），
當(dāng)EA=EC時(shí)，E₄點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2

2

-2，0）、（-2

2

-2，0）、（2，0）、（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩條直線(xiàn)相交或平行的問(wèn)題：兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線(xiàn)相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．若兩條直線(xiàn)是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．