Question

13．已知：如圖1，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC的延長線上，且BD=CE，聯(lián)結(jié)AE、CD．
（1）試說明△CBD≌△ACE的理由；
（2）如果將△CBD繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°（如圖2），此時點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，聯(lián)結(jié)AG、EG，猜想△AEG是什么三角形？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)知AC=BC、∠1=∠2=60°，得出∠3=∠4=120°，結(jié)合BD=CE可證△CBD≌△ACE；
（2）由△ABG≌△CBD得AG=CD、∠5=∠6，由△CBD≌△ACE得CD=AE、∠5=∠7，據(jù)此知AG=AE、∠6=∠7，由∠6+∠8=∠7+∠8=60°可得答案．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形（已知），
∴AB=AC=BC，∠1=∠2=∠BAC=60°（等邊三角形的性質(zhì)）．
∴∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°（鄰補(bǔ)角的意義），
∴∠3=∠4=120°（等角的補(bǔ)角相等）．
在△CBD和△ACE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠3=∠4}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ACE（SAS）；


（2）猜想：△AEG是等邊三角形． 
∵△ABG是△CBD繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的，
∴△ABG≌△CBD．
∴AG=CD，∠5=∠6．
∵△CBD≌△ACE，
∴CD=AE，∠5=∠7．
∴AG=AE，∠6=∠7，
∴△AED′是等腰三角形． 
∵∠6+∠8=60°，
∴∠7+∠8=60°．
即∠GAE=60°．
∴△AEG是等邊三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵．