Question

拋物線y=x²-kx-3與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1+k，0）．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將（1）中的拋物線沿對(duì)稱軸向上平移，使其頂點(diǎn)M落在線段BC上，記該拋物線為G，求拋物線G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）將線段BC平移得到線段B′C′（B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′），使其經(jīng)過(guò)（2）中所得拋物線G的頂點(diǎn)M，且與拋物線G另有一個(gè)交點(diǎn)N，求點(diǎn)B′到直線OC′的距離h的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將B（1+k，0）代入y=x²-kx-3，得到（1+k）²-k（1+k）-3=0，解方程求出k=2，即可得到拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法得到直線BC的解析式為y=x-3，再由（1）中拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，根據(jù)平移的規(guī)律得出拋物線G的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2），然后利用頂點(diǎn)式得到拋物線G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）²-2，轉(zhuǎn)化為一般式即y=x²-2x-1；
（3）連結(jié)OB′，過(guò)B′作B′H⊥OC′于點(diǎn)H．根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出B′H=B′C′•sin∠C=3

2

•sin∠C′，則當(dāng)∠C′最大時(shí)h最大；當(dāng)∠C′最小時(shí)h最小．即h的取值范圍在最大值與最小值之間．由圖2可知，當(dāng)C′與M重合時(shí)，∠C′最大，h最大．根據(jù)S_△OB′C′=S_△OB′B+S_△OBC′，求出B′H=

9

5

5

；由圖3可知，當(dāng)B′與M重合時(shí)，∠C′最小，h最�。�根據(jù)S_△OB′C′=S_△OCB′+S_△OCC，求出B′H=

9

29

29

，則

9

29

29

≤h≤

9

5

5

．

解答：解：（1）將B（1+k，0）代入y=x²-kx-3，
得（1+k）²-k（1+k）-3=0，
解得k=2，
所以拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3；

（2）當(dāng)k=2時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
∵y=x²-2x-3，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
則

3m+n=0 n=-3

，解得

m=1 n=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
將（1）中的拋物線沿對(duì)稱軸向上平移時(shí)橫坐標(biāo)不變．
把x=1代入y=x-3可得y=-2，
∴拋物線G的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2），
∴拋物線G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=（x-1）²-2，即y=x²-2x-1；

（3）連結(jié)OB′，過(guò)B′作B′H⊥OC′于點(diǎn)H．
∵B′H=B′C′•sin∠C=3

2

•sin∠C′，
∴當(dāng)∠C′最大時(shí)h最大；當(dāng)∠C′最小時(shí)h最�。�由圖2可知，當(dāng)C′與M重合時(shí)，∠C′最大，h最大．
此時(shí)，S_△OB′C′=S_△OB′B+S_△OBC′，
∴

1

2

OC′•B′H=

3

2

+3，
∴B′H=

9

5

5

；
由圖3可知，當(dāng)B′與y=x²-2x-1的頂點(diǎn)M重合時(shí)，B'（2，-1），則C'（-1，-4），∠C'最小，h最�。�此時(shí)，S_△OB′C′=S_△OCB′+S_△OCC'，
∴

1

2

OC′•B′H=

3

2

+3=

9

2

，
此時(shí)∵C′（-1，-4）
∴OC'=

1+16

=

17

∴B'H=

9 17

17

．
綜上所述，

9 17

17

≤h≤

9

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求法，二次函數(shù)平移的規(guī)律，銳角三角函數(shù)的定義和三角形的面積求法等知識(shí)．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．