Question

如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P、Q分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AP=AQ，點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線上，BE平分∠CBM，PD⊥PE．
（1）求證：PD=PE；
（2）當(dāng)AP的長(zhǎng)為多少時(shí)，△PDQ的面積最大，并求出面積最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）判斷出△APQ是等腰直角三角形，然后求出∠DQP=135°，再求出∠PBE=135°，從而得到∠DQP=∠PBE，再求出DQ=PB，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADP=∠BPE，然后利用“角邊角”證明△DPQ和△PEB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PD=PE；
（2）設(shè)AP=x，表示出DQ，然后根據(jù)三角形的面積公式列式并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：（1）證明：∵AP=AQ，∠A=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴∠AQP=45°，
∴∠DQP=135°，
∵BE平分∠CBM，
∴∠CBE=

1

2

×90°=45°，
∴∠PBE=135°，
∴∠DQP=∠PBE，
∵AP=AQ，AB=AD，
∴AB-AP=AD-AQ，
即DQ=PB，
∵PD⊥PE，
∴∠APD+∠BPE=90°，
又∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPE，
在△DPQ和△PEB中，

∠ADP=∠BPE DQ=PB ∠DQP=∠PBE

，
∴△DPQ≌△PEB（ASA），
∴PD=PE；

（2）解：設(shè)AP=x，則DQ=PB=6-x，
△PDQ的面積=

1

2

DQ•AP=

1

2

（6-x）•x=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，
∵a=-

1

2

＜0，
∴當(dāng)x=3，即AP=3時(shí)，△PDQ的面積最大，最大值為

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖確定出全等三角形和全等的條件是解題的關(guān)鍵．