Question

2．以矩形OABC的OC邊所在直線為x軸，OA邊所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，已知OA=8，OC=10，將矩形OABC沿直線AD折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸上的點(diǎn)E處．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求直線AD的解析式；
（3）x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAD的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求OE的長(zhǎng)可得E的坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)折疊設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理列方程可求CD的長(zhǎng)，得D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線AD的解析式；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱的最短路徑，作A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'（0，-8），連接A'D交x軸于P，此時(shí)△PAD的周長(zhǎng)最小，利用待定系數(shù)法求直線A‘D的解析式，令y=0代入可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由折疊得：AB=AE=10，
∵∠AOC=90°，OA=8，
∴OE=6，
∵E（6，0）；
（2）EC=OC-OE=10-6=4，
設(shè)DB=x，則DE=BD=x，DC=8-x，
Rt△EDC中，由勾股定理得：DE²=DC²+EC²，
∴x²=（8-x）²+4²，
x=5，
∴DC=8-5=3，
∵D（10，3），
設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+8；
（3）存在，作A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'（0，-8），
連接A'D交x軸于P，此時(shí)△PAD的周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線A'D的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{11}{10}}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為：y=$\frac{11}{10}$x-8；
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{80}{11}$，
∴P（$\frac{80}{11}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)特點(diǎn)、勾股定理、折疊的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求直線的解析式；難度適中，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵．