Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的AB邊在x軸上，AB=3，AD=2，經(jīng)過點C的直線y=x-2與x軸、y軸分別交于點E、F．
（1）求：①點D的坐標；
②經(jīng)過點D，且與直線FC平行的直線的函數(shù)表達式；
（2）直線y=x-2上是否存在點P，使得△PDC為等腰直角三角形？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在平面直角坐標系內(nèi)確定點M，使得以點M、D、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）①設點C的坐標為（m，2），根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，代入直線解析式求解即可得到m的值，再根據(jù)矩形的長求出OA，然后寫出點D的坐標即可；
②根據(jù)互相平行的直線的解析式的k值相等設出直線解析式為y=x+b，然后把點D的坐標代入函數(shù)解析式求解即可；
（2）根據(jù)直線解析式求出△EBC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CEB=∠ECB=45°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCE=∠CEB=45°，然后判斷出△PDC只能是以P、D為直角頂點的等腰直角三角形，再分①∠D=90°時，根據(jù)點P的橫坐標與點D的橫坐標相等，利用直線解析式求解即可；②∠DPC=90°時，作DC的垂直平分線與直線y=x-2的交點即為點P₂，求出點P的橫坐標，再代入直線解析式計算即可得解；
（3）根據(jù)平行四邊形平行且對邊相等，分DE、CE是對角線時，點M在x軸上，求出OM的長度，然后寫出點M的坐標，CD是對角線時，求出平行四邊形的中心的坐標，再求出點E關于中心的對稱點，即為點M．

解答：解：（1）①設點C的坐標為（m，2），
∵點C在直線y=x-2上，
∴2=m-2，
∴m=4，
即點C的坐標為（4，2），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
∴點D的坐標為（1，2）；
②設經(jīng)過點D且與FC平行的直線函數(shù)表達式為y=x+b，
將D（1，2）代入y=x+b，得b=1，
∴經(jīng)過點D且與FC平行的直線函數(shù)表達式為y=x+1；

（2）存在．
∵△EBC為等腰直角三角形，
∴∠CEB=∠ECB=45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB=45°，
∴△PDC只能是以P、D為直角頂點的等腰直角三角形，
如圖，①當∠D=90°時，延長DA與直線y=x-2交于點P₁，
∵點D的坐標為（1，2），
∴點P₁的橫坐標為1，
把x=1代入y=x-2得，y=-1，
∴點P₁（1，-1）；
②當∠DPC=90°時，作DC的垂直平分線與直線y=x-2的交點即為點P₂，
所以，點P₂的橫坐標為

1+4

2

=

5

2

，
把x=

5

2

代入y=x-2得，y=

1

2

，
所以，點P₂（

5

2

，

1

2

），
綜上所述，符合條件的點P的坐標為（1，-1）或（

5

2

，

1

2

）；

（3）當y=0時，x-2=0，
解得x=2，
∴OE=2，
∵以點M、D、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴若DE是對角線，則EM=CD=3，
∴OM=EM-OE=3-2=1，
此時，點M的坐標為（-1，0），
若CE是對角線，則EM=CD=3，
OM=OE+EM=2+3=5，
此時，點M的坐標為（5，0），
若CD是對角線，則平行四邊形的中心坐標為（

5

2

，2），
設點M的坐標為（x，y），
則

x+2

2

=

5

2

，

y+0

2

=2，
解得x=3，y=4，
此時，點M的坐標為（3，4），
綜上所述，點M的坐標為（-1，0），（5，0）（3，4）．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵，難點在于（2）（3）分情況討論．