Question

14．如圖，在等邊三角形△ABC中，點D為線段BC的中點，點E、F分別在線段AB和AC上，∠EDF=60°．
（1）求證：△BDE∽△CFD；
（2）若BE•CF=9，求△ABC的邊長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，由三角形的外角性質(zhì)和已知條件得出∠CDF=∠BED，即可證出△BDE∽△CFD；
（2）由相似三角形的性質(zhì)得出BE：CD=BD：CF，得出CD•BD=BE•CF=9，由中點的定義得出BD=CD，求出CD=3，即可得出AB=BC=AC=2BD=6．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵∠CDE=∠B+∠BED，∠EDF=60°，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD；
（2）解：由（1）得：△BDE∽△CFD，
∴BE：CD=BD：CF，
∴CD•BD=BE•CF=9，
∵點D為線段BC的中點，
∴BD=CD，
∴CD²=9，
∴CD=3，
∴AB=BC=AC=2BD=6．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．