Question

6．如圖，⊙O的直徑EF為10cm，弦AB、CD分別為6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求圖中陰影部分面積之和．

Answer 1

分析 本題易得出△ABO與△ABE的面積相等，△OCD與△CDF的面積相等（這兩組三角形都是同底等高），因此陰影部分的面積為扇形OAB的面積和扇形OCD的面積和．直接求兩個(gè)扇形的面積由難度，因此可找出它們之間的關(guān)系再進(jìn)行求解．過O作圓的直徑MN，使得MN⊥EF與O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易證得∠GBO=∠COH（通過兩角的正弦值求證）．因此可得出∠BOF=∠CON，即扇形OBF的面積與扇形OCN的面積相等，也就得出了扇形OBF與扇形OAE的面積和正好等于扇形OCD的面積；因此陰影部分的面積和正好是半個(gè)圓的面積，由此可得出所求的解．

解答 解：如圖，作直徑MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；連接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG=3cm，OB=5cm，因此OG=4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH=4cm，OC=5cm，因此OH=3cm；
sin∠DOF=$\frac{OH}{OD}$=$\frac{3}{5}$，
sin∠BOF=$\frac{OG}{OB}$=$\frac{4}{5}$，
sin∠COE=$\frac{OH}{OC}$=$\frac{3}{5}$，
sin∠AOE=$\frac{OG}{OA}$=$\frac{4}{5}$，
即∠DOF=∠AOM=∠COE=∠BOM，∠CON=∠DON=∠AOE=∠BOF，
因此S_扇形OAE=S_扇形OBF=S_扇形CON=S_扇形ODN
∴S_陰影=S_△ABE+S_弓形AMB+S_△CDF+S_弓形CND
=S_△OAB+S_弓形AMB+S_△OCD+S_弓形CND
=S_扇形OAB+S_扇形OCN+S_扇形ODN
=S_扇形OAB+S_扇形OAE+S_扇形OBF
=$\frac{1}{2}$S_⊙O
=12.5πcm²．
故圖中陰影部分面積之和為12.5πcm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查扇形面積的計(jì)算，學(xué)生的觀察能力及計(jì)算能力．本題中找出兩個(gè)陰影部分面積之間的聯(lián)系是解題的關(guān)系．