Question

如圖，正方形ABCD中，點E為AB上一點，點F為CB延長線上一點，且BE=BF，CE的延長線交AF于N，CM⊥NB于M，求證：
（1）CN⊥AF；
（2）∠MNC=45゜；
（3）AN=

2

BM．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，易證得△ABF≌△CBE（SAS），即可得∠F=∠CEB，又由∠CEB+∠BCE=90°，即可證得結(jié)論；
（2）首先過點B作BG⊥CN于點G，BH⊥AF于點H，S_△CBE=

1

2

CE•BG，S_△ABF=

1

2

AF•BH，△ABF≌△CBE，可得BG=BH，即可得點B在∠CNF的平分線上，則可求得答案；
（3）首先在CM上截取CK=BN，連接BK，易證得△ABN≌△BCK，則可得AN=BK，CK=BN，又由△CMN是等腰直角三角形，即可證得AN=

2

BM．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ABC=90°，AB=BC，
在△ABF和△CBE中，

AB=CB ∠ABF=∠CBE BF=BE

，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠F=∠CEB，
∵∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠F+∠BCE=90°，
∴∠CNF=90°，
∴CN⊥AF；

（2）過點B作BG⊥CN于點G，BH⊥AF于點H，
則S_△CBE=

1

2

CE•BG，S_△ABF=

1

2

AF•BH，
∵△ABF≌△CBE，
∴AF=BE，S_△CBE=S_△ABF，
∴BG=BH，
∴點B在∠CNF的平分線上，
即NB平分∠CNF，
∵∠CNF=90°，
∴∠MNC=45°；

（3）在CM上截取CK=BN，連接BK，
∵∠CBA=90°，
∴∠CBM+∠ABN=90°，
∵CM⊥MN，
∴∠CBM+∠BCK=90°，
∴∠ABN=∠BCK，
在△ABN和△BCK中，

AB=CB ∠ABN=∠BCK BN=CK

，
∴△ABN≌△BCK（SAS），
∴AN=BK，CK=BN，
∵∠MNC=45°，CM⊥MN，
∴△CMN是等腰直角三角形，
∴CM=MN，
∴BM=KM，
在Rt△BKM中，BK²=BM²+KM²=2BM²，
∴BK=

2

BM，
∴AN=

2

BM．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．