Question

如圖：△ABC中，D為BC上一動點，BE⊥AD延長線于E，CF⊥AD于F，M是BC的中點，當D與M重合如圖②時，試說明ME=MF．當D運動到如圖①位置時，這個結論是否成立，說明理由．

Answer 1

解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠E=∠CFM，
∵M是BC的中點，
∴BM=CM，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴△BEM≌△CHM（AAS），
∴ME=MF．

延長EM交FC于H．
因為BE⊥AE，CF⊥AE，可知BE∥FC．
易證△BEM≌△CHM，可得EM=MH，
又∠EFH=90°．
∴FM=EH=EM．
分析：圖②根據AAS證明△BEM≌△CHM即可得出結論；
圖①延長EM交CF于H，通過證明△EBM≌△HCM（ASA）得出EM=MH，再根據直角三角形的性質即可得出結論．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質和直角三角形的性質：在應用全等三角形的判定時，必要時添加適當輔助線構造三角形；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．本題關鍵是添加輔助線找到中間線段MN．