Question

已知拋物線y=x²-2（m+1）x+m+7的頂點在x軸上，求證：關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m+7=0有兩個相等的實數(shù)根，并求出這兩個根．

Answer 1

考點：根的判別式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)由拋物線y=x²-2（m+1）x+m+7的頂點在x軸上得到△=4（m+1）²-4（m+7）=0，則根據(jù)判別式的意義可判斷關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m+7=0有兩個相等的實數(shù)根，然后解方程4（m+1）²-4（m+7）=0得m₁=-3，m₂=2，再把m的值分別代入方程，利用因式分解法解方程即可．

解答：證明：∵拋物線y=x²-2（m+1）x+m+7的頂點在x軸上，
△=4（m+1）²-4（m+7）=0，
∴關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m+7=0有兩個相等的實數(shù)根，
解方程4（m+1）²-4（m+7）=0得m₁=-3，m₂=2，
當m=-3時，x²+4x+4=0，解得x₁=x₂=-2；
當m=2時，x²-6x+9=0，解得x₁=x₂=3．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．