Question

19．如圖所示，在△ABC中，G為BC上一動點，∠C=45°，∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如圖①，當(dāng)G點在BF上時，求證：BD∥EF；
（2）如圖②，當(dāng)G在CG上時，連接GE，若∠DEG=3∠FEG，∠DGE=60°，求線段GE與AC的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）求出∠EDG=∠BGD，根據(jù)平行線的判定得出DE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B+∠BDE=180°，求出∠DEF+∠BDE=180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）設(shè)∠FEG=x°，∠DEG=3x°，∠DEF=2x°=∠DBG，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BDE=180°-2x°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDG=∠EDG=90°-x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出90-x+60+3x=180，求出x，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG=∠EDG，
∵∠BDG=∠BGD，
∴∠EDG=∠BGD，
∴DE∥BC，
∴∠B+∠BDE=180°，
∵∠DBF=∠DEF，
∴∠DEF+∠BDE=180°，
∴BD∥EF；

（2）GE⊥AC，
證明：∵∠DEG=3∠FEG，設(shè)∠FEG=x°，
∴∠DEG=3x°，∠DEF=2x°=∠DBG，
∵BD∥EF，
∴∠BDE+∠DEF=180°，
∴∠BDE=180°-2x°，
由（1）可知∠BDG=∠EDG=∠BGD=$\frac{1}{2}$（180°-∠DBG）=90°-x°，
∵DE∥BG，
∴∠DEG+∠BGE=180°，
又∵∠DGE=60°，
即90-x+60+3x=180，
∴∠FEG=x=15°，∠DEG=45°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=45°，
∴∠AEG=90°，
∴GE⊥AC．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運用平行線的性質(zhì)和判定定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強，難度偏大．