Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為的拋物線交  軸與點，交軸與兩點（點在點的左側(cè)），已知點坐標(biāo)為．

（１）求此拋物線的解析式；

（２）過點作線段的垂線交拋物線與點，如果以點為圓心的圓與直線相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙的位置關(guān)系，并給出證明．

（３）在拋物線上是否存在一點，使是以為直角邊的直角三角形．若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（１）由題意可設(shè)此拋物線的解析式為：

此拋物線過點 ，

此拋物線的解析式為：，即

（２）此時拋物線的對稱軸與⊙相離。證明：

令，即，得或，

設(shè)直線的解析式為：，則，

直線與直線垂直，直線可表示為：，

，，直線為：

點到直線的距離為：

點為圓心的圓與直線相切，⊙的半徑為：

又點到拋物線對稱軸的距離為：   而，。所以此時拋物線的對稱軸與⊙相離。

（３）假設(shè)存在滿足條件的點，，

，

①        當(dāng)時，在中，由勾股定理，得

，整理，得

點在拋物線上，，

，解得或，或

 點為或（舍去）

②        當(dāng)時，在中，由勾股定理，得

，整理，得

點在拋物線上，，

，解得或，或

 點為或（舍去）

綜上，滿足條件的點的坐標(biāo)為或