Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）與一次函數(shù)y=ax-2（a＞0）的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求證：AB∥CD；
（2）若a=2，△ABE的面積為9，求反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，連接OB，P為雙曲線上一點(diǎn)，以O(shè)B、OP為鄰邊作平行四邊形，且平行四邊形的周長最小，求第四個(gè)頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)A（x₁，

k

x1

），B（x₂，

k

x2

），根據(jù)題意可得AE=x₁-x₂，BE=

k

x1

-

k

x2

，EC=-x₂，ED=

k

x1

，然后求得

AE

BE

=

EC

ED

=-

x1x2

k

，即可求得．
（2）先求得直線與x軸、y軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，求得△ABE∽△MNO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出

AE

BE

=

OM

ON

=

1

2

，根據(jù)三角形的面積結(jié)合交點(diǎn)和系數(shù)的關(guān)系即可求得．
（3）因?yàn)樗倪呅蜲BPQ是平行四邊形，所以O(shè)B=PQ，OP=BQ，而點(diǎn)B是定點(diǎn)，所以O(shè)B的長也是定長，所以要求平行四邊形OBPQ周長的最小值就只需求OP的最小值，結(jié)合勾股定理求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，

k

x1

），B（x₂，

k

x2

），
根據(jù)題意AE=x₁-x₂，BE=

k

x1

-

k

x2

，EC=-x₂，ED=

k

x1

，
∵

AE

BE

=

x1-x2

k x1 - k x2

=-

x1x2

k

，

EC

ED

=

-x2

k x1

=-

x1x2

k

，
∴

AE

BE

=

EC

ED

，
∴

EC

AE

=

ED

BE

，
∴AB∥CD；
（2）∵a=2，
∴一次函數(shù)為y=2x-2，
∴直線y=2x-2交x軸M的坐標(biāo)為（1，0），交y軸N的坐標(biāo)為（0，-2），
∴OM=1，ON=2，
∵AC⊥y軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D．
∴AE∥OM，BE∥ON，∠E=∠MON=90°，
∴△ABE∽△MNO，
∴

AE

BE

=

OM

ON

=

1

2

，
∴BE=2AE，
∵AE=x₁-x₂，
∴BE=2（x₁-x₂），
由

y= k x y=2x-2

得，x²-x-

k

2

=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-

k

2

，
∵S_ABE=

1

2

AE•BE=

1

2

（x₁-x₂）•2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1-4×（-

k

2

）=1+2k=9，
∴k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；
（3）由

y= 4 x y=2x-2

可知B的坐標(biāo)為（-1，-4），
因?yàn)樗倪呅蜲BPQ是平行四邊形，所以O(shè)B=PQ，OP=BQ，
而點(diǎn)B是定點(diǎn)，所以O(shè)B的長也是定長，
所以要求平行四邊形OBPQ周長的最小值就只需求OP的最小值，
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，

4

n

），
由勾股定理可得OP²=n²+

16

n2

=n²+

16

n2

-8+8=（n-

4

n

）²+8，
所以當(dāng)（n-

4

n

）²=0即n-

4

n

=0時(shí)，OP²有最小值，OP有最小值，
解得，n=±2，
∴P（2，2）或（-2，-2），
∴Q（1，-2）或（-3，-6）；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及三角形的面積求法．