Question

18．已知△ABC，以BC、AC為邊分別向外作正方形BCDE和正方形ACFG，連接FD．如圖，求證：S_△ABC=S_△CDF．

Answer 1

分析 過B作BK⊥AB于K，過D作GO⊥CF交CF延長線于H，推出∠BKC=∠H=90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AC=FC，BC=DC，∠FCA=∠DCB=90°，求出∠DCH=∠BCK，證△DHC≌△BKC，推出DH=BK，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答 證明：過B作BK⊥AB于K，過D作GO⊥CF交CF延長線于H，

則∠BKC=∠H=90°，
∴∠FCD+∠DCH=180°，
∵四邊形ACFG和四邊形BCDE是正方形，
∴AC=FC，BC=DC，∠FCA=∠DCB=90°，
∴∠FCD+∠BCK=360°-90°-90°=180°，
∴∠DCH=∠BCK，
在△DHC和△BKC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠BKC}\\{∠DCH=∠BCK}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△DHC≌△BKC，
∴DH=BK，
∵AC=FC，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BK$，${S}_{△CDF}=\frac{1}{2}CF•DH$，
∴S_△ABC=S_△CDF．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的應用，關鍵是作輔助線后求出DH=BK．