Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，O為BC的中點。

（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系（不要求證明）

（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動過程中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，請證明你的結論。

 

Answer 1

【答案】

（1）OA=OB=OC（2）△OMN的形狀是等腰直角三角形，證明見解析

【解析】解：（1）點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系是OA=OB=OC；

（2）△OMN的形狀是等腰直角三角形，

證明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC中點，

∴OA=OB=OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，

∴∠AOB=90°，∠B=∠C=45°，∠BAO=∠CAO=45°，

∴∠CAO=∠B，

在△BOM和△AON中

AN=BM，∠CAO=∠B，OA=OB

∴△BOM≌△AON（SAS），

∴OM=ON，∠AON=∠BOM，

∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°，

∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形．（1）根據直角三角形斜邊上中線性質推出即可；

（2）根據等腰三角形性質求出∠B=∠C=45°=∠BOA=∠CAO，根據SAS證△BOM≌△AON，推出OM=ON，∠AON=∠BOM，求出∠MON=90°，根據等腰直角三角形的判定推出即可．