Question

拋物線y=x²+（2m+1）x+m²-1，x∈R．
（1）求證：不論m為何值，函數(shù)圖象頂點(diǎn)都在同一直線L₁上；
（2）求證：任一平行L₁且與拋物線相交的直線，被各拋物線截得的線段長(zhǎng)相等．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）把原拋物線解析式配成頂點(diǎn)式得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m-

1

2

，-m-

5

4

），由于橫縱坐標(biāo)之差為常數(shù)，則可判斷點(diǎn)（-m-

1

2

，-m-

5

4

）在直線x-y=

3

4

上，
（2）設(shè)與L₁：y=x-

3

4

平行的直線為y=x+b，根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題得到

y=x+b y=x2+(2m+1)x+m2-1

，消去y得x²+2mx+m²-1-b=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差，再利用直線的性質(zhì)得到兩交點(diǎn)的距離等于兩橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值的

2

倍，而表示線段長(zhǎng)的代數(shù)式與m無(wú)關(guān)，只與b有關(guān)，于是可判斷任一平行L₁且與拋物線相交的直線，被各拋物線截得的線段長(zhǎng)相等．

解答：證明：（1）∵y=x²+（2m+1）x+m²-1
=（x+m+

1

2

）²+m-

5

4

，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m-

1

2

，-m-

5

4

），
∵-m-

1

2

-m+

5

4

=

3

4

∴點(diǎn)（-m-

1

2

，-m-

5

4

）在直線x-y=

3

4

上，
即不論m為何值，函數(shù)圖象頂點(diǎn)都在同一直線y=x-

3

4

上；
（2）設(shè)與L₁：y=x-

3

4

平行的直線為y=x+b，
∴

y=x+b y=x2+(2m+1)x+m2-1

，
∴x²+2mx+m²-1-b=0，
設(shè)直線y=x+b與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為p、q，則p+q=-2m，pq=m²-1-b=0，
∴|p-q|=

(p+q)2-4pq

=

4+4b

=2

b+1

，
∵直線y=x+b與x軸正方向的交角為45°，
∴直線y=x+b被各拋物線截得的線段長(zhǎng)為

2

|p-q|=2

2b+2

，
此線段長(zhǎng)只與b有關(guān)，
∴任一平行L₁且與拋物線相交的直線，被各拋物線截得的線段長(zhǎng)相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減��；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時(shí)，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時(shí)，y隨x的增大而減�。粁=-

b

2a

時(shí)，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．