Question

20．如圖，在△ABF中，以AB為直徑的圓分別交邊AF、BF于C、E兩點，CD⊥AF．AC是∠DAB的平分線，
（1）求證：直線CD是⊙O的切線．
（2）求證：△FEC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠FAC=∠ACO，進而得出AF∥CO，即可得出結(jié)論；
（2）先用等腰三角形的三線合一得出AF=AB．再用同角的補角相等得出∠FEC=∠B  即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，則∠CAO=∠ACO，
又∠FAC=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO，
∴AF∥CO，
而CD⊥AF，
∴CO⊥CD，
 即直線CD是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
又∠FAC=∠CAO
∴AF=AB（三線合一），
∴∠F=∠B，
∵四邊形EABC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∵∠FEC+∠AEC=180°，∠B+∠AEC=180°
∴∠FEC=∠B  
∴∠F=∠FEC，
   即EC=FC 
 所以△FEC是等腰三角形．

點評 此題是切線的性質(zhì)，主要考查了圓的內(nèi)接四邊形，等腰三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是∠FEC=∠B．