Question

1．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c．若a、b、c均為正整數(shù)，且c=$\frac{1}{3}$ab-（a+b），則滿足條件的直角三角形的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)此三角形是直角三角形利用勾股定理把原式化為（a-6）（b-6）=18，再根據(jù)a，b均為正整數(shù)，不妨設(shè)a＜b，可得出關(guān)于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的對(duì)應(yīng)值即可．

解答 解：由勾股定理得c²=a²+b²．
又∵c=$\frac{1}{3}$ab-（a+b），
∴c²=[$\frac{1}{3}$ab-（a+b）]²=$\frac{1}{9}$（ab）²-$\frac{2}{3}$ab（a+b）+（a+b）²，即a2+b2=$\frac{1}{9}$（ab）²-$\frac{2}{3}$ab（a+b）+a²+b²+2ab，
整理得，ab-6（a+b）+18=0，即（a-6）（b-6）=18，
∵a，b均為正整數(shù)，不妨設(shè)a＜b，
可得$\left\{\begin{array}{l}a-6=1\\ b-6=18\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a-6=2\\ b-6=9\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a-6=3\\ b-6=6\end{array}\right.$，
可解出$\left\{\begin{array}{l}a=7\\ b=2\\ c=25\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=8\\ b=15\\ c=17\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=9\\ b=12\\ c=15\end{array}\right.$，
∴滿足條件的直角三角形有3個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，涉及到非一次不定方程及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是先利用勾股定理把原式化為兩個(gè)因式積的形式，再根據(jù)a，b均為正整數(shù)進(jìn)行解答．