Question

1．如圖，在菱形OABC中，點(diǎn)A落在x軸正半軸，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，以AD為一邊向右作菱形AEFD，點(diǎn)E落在x軸上．已知∠AOC=30°，OA•AE=12，則菱形OABC的面積與菱形AEFD的面積差是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，如圖，易得CM=$\frac{1}{2}$OA，DN=$\frac{1}{2}$AE，OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．由點(diǎn)C、點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上可得OM•CM=ON•DN，從而可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA•$\frac{1}{2}$OA=（OA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE）•$\frac{1}{2}$AE，整理可得OA²-AE²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OA•AE，即可求出OA²-AE²，就可求出菱形OABC的面積與菱形AEFD的面積差．

解答 解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸于M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于N，如圖，

∵四邊形OABC和四邊形AEFD是菱形，
∴OC=OA，AD=AE，OC∥AB，
∴∠DAE=∠COA=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OA，DN=$\frac{1}{2}$DA=$\frac{1}{2}$AE，
∴OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE．
∵點(diǎn)C、點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，
∴OM•CM=ON•DN，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA•$\frac{1}{2}$OA=（OA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$AE）•$\frac{1}{2}$AE，
整理可得OA²-AE²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OA•AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×12=8$\sqrt{3}$，
∴S_菱形OABC-S_菱形AEFD=$\frac{1}{2}$OA•OA-$\frac{1}{2}$AE•AE=$\frac{1}{2}$（OA²-AE²）=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了菱形的性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，由點(diǎn)C、點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，得到OM•CM=ON•DN，是解決本題的關(guān)鍵．