Question

如圖，一次函數(shù)y=-x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求C點坐標(biāo)；
（2）在x軸上有一點P，求當(dāng)PC+PB值最小時，點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）作CD⊥x軸，易證∠OAB=∠ACD，即可證明△ABO≌△CAD，可得AD=OB，CD=OA，即可解題；
（2）作C點關(guān)于x軸對稱點E，連接BE，即可求得E點坐標(biāo)，根據(jù)點P在直線BE上即可求得點P坐標(biāo)，即可解題．

解答：解：（1）作CD⊥x軸，

∵∠OAB+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，
在△ABO和△CAD中，

∠AOB=∠CDA=90° ∠OAB=∠ACD AB=AC

，
∴△ABO≌△CAD（AAS）
∴AD=OB，CD=OA，
∵y=-x+2與x軸、y軸交于點A、B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴點C坐標(biāo)為（4，2）；
（2）作C點關(guān)于x軸對稱點E，連接BE，

則E點坐標(biāo)為（4，-2），△ACD≌△AED，
∴AE=AC，
∴直線BE解析式為y=-x+2，
設(shè)點P坐標(biāo)為（x，0），
則（x，0）位于直線BE上，
∴點P坐標(biāo)為（2，0）于點A重合．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABO≌△CAD是解題的關(guān)鍵．