Question

在銳角△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，D是垂足，BD=4，M、N分別是BD、BC上動點，則CM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：作△ABC關于直線AB的對稱△ABC′，C′是C的對稱點，連接C′N交AB于M′，由于∠ABC=45°，所以∠CBC′=90°，所以點N在點B時，CM+MN有最小值，
再根據BC=4

2

，即可求出BC′的長．

解答：解：作△ABC關于直線AB的對稱△ABC′，C′是C的對稱點，連接C′N交AB于M′，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC′=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴點N在點B時，CM+MN有最小值，
則BC′即為CM+MN的最小值，
∵C′是C的對稱點，CD⊥AB，
∴C、D、C′三點共線，
∴△CBC′是等腰直角三角形，
∴BC′=BC，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，BD=4，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC=

2

BD=4

2

，
∴BC′=4

2

，
故答案為4

2

．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線，構造出等腰直角三角形，利用等腰直角三角形求解是解答此題的關鍵．