Question

（2013•香坊區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，S_△ABC=28．點(diǎn)P從C出發(fā)沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0）．
（1）求直線CB的解析式；
（2）連接BP，分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，線段EF的垂直平分線交AC于點(diǎn)G，連接BG，求BG的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠BGA=2∠PBG時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求出B的坐標(biāo)，求出AC=14，得出C的坐標(biāo)（-10，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，代入求出即可；
（2）連接EG并延長(zhǎng)交直線CF于點(diǎn)Q，求出EG=QG，∠GCQ=∠EAG，根據(jù)AAS證△GCQ≌△GAE，推出CG=AG，求出GA=7，OG=3，根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）①當(dāng)P在G點(diǎn)左側(cè)時(shí)，求出∠BPG=∠PBG，推出PG=BG=5，即可得出P的坐標(biāo)；②當(dāng)P₁在G點(diǎn)右側(cè)時(shí)，求出∠P₁BG=∠PBG，∠BP₁G=∠BP₁G，證△P₁GB∽△P₁PB，得出比例式，由勾股定理得出P1B2=OB2+OP12，設(shè)OP₁=x，得出方程（3-x）（8-x）=x²+4²，求出即可．

解答：解：（1）∵y=-x+4，
令x=0得：y=4，
∴B（0，4），
∵S_△ABC=28，
∴S_△ABC=

1

2

AC•OB=

1

2

•AC•4=28，
∴AC=14，
∴OC=10，
∴C（-10，0）
∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b
∴

-10k+b=0 b=4

，
∴

k= 2 5 b=4

，
∴直線BC的解析式為y=

2

5

x+4；

（2）連接EG并延長(zhǎng)交直線CF于點(diǎn)Q，如圖1，
∵CQ∥MG∥AE，ME=MF，
∴EG=QG，∠GCQ=∠EAG，
在△GCQ和△GAE中

∠GCQ=∠EAG ∠CGQ=∠AGE EG=GQ

∴△GCQ≌△GAE，
∴CG=AG，
∴GA=

1

2

AC=7，
∴OG=GA-OA=7-4=3，
∴BG=

OB2+OG2

=

32+42

=5；

（3）①當(dāng)P在G點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖1，
∵∠BGA=∠PBG+∠BPG，∠BGA=2∠PBG，
∴∠BPG=∠PBG，
∴PG=BG=5，
∴OP=8
∴P（-8，0）；
②當(dāng)P₁在G點(diǎn)右側(cè)時(shí)；如圖1′，
∵∠BGA=2∠P₁BG，∠BGA=2∠PBG，
∴∠P₁BG=∠PBG，
∠BP₁G=∠BP₁G，
∴△P₁GB∽△P₁PB，
∴

BP1

GP1

=

PP1

BP1

，
∴P1B2=P1G•PP1
∵由勾股定理得：P1B2=OB2+OP12，
設(shè)OP₁=x，
∴（3-x）（8-x）=x²+4²
∴x=

8

11

，
∴P₁ （-

8

11

，0）；
即P的坐標(biāo)是（-8，0）或（-

8

11

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．