Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)C在以D（-2，-2）為圓心，4為半徑的圓上，且經(jīng)過⊙D與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，連接AC、BC、OC。

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使DP所在直線平分線段OC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖，作CH⊥x軸，垂足為H， ∵直線CH為拋物線對(duì)稱軸， ∴CH垂直平分AB， ∴CH必經(jīng)過圓心D（-2，-2） ∵DC=4， ∴CH=6 ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-6）。 （2）連接AD 在Rt△ADH中，AD=4，DH=2， ∴∠HAD=30°， ∴ ∴ ∴陰影部分的面積。 （3）又∵ H點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），H為AB的中點(diǎn)， ∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2-2，0） 又∵拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-6）， 設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）2-6 ∵B（，0）在拋物線上 ∴，解得 ∴拋物線的解析式為 設(shè)OC的中點(diǎn)為E，過E作EF⊥x軸，垂足為F，連接DE， ∵CH⊥x軸，EF⊥x軸， ∴CH∥EF ∵E為OC的中點(diǎn)， ∴ 即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，-3）。 設(shè)直線DE的解析式為 ∴，解得 ∴直線DE的解析式為y=-x-4 若存在P點(diǎn)滿足已知條件，則P點(diǎn)必在直線DE和拋物線上 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）， ∴n=-m-4，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，-m-4）， ∴ 解這個(gè)方程，得， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-4）和（-6，2）。 故在拋物線上存在點(diǎn)P，使DP所在直線平分線段OC。