Question

已知△ABC中，AB=AC，DE⊥AC于點E，DE與半⊙O相切于點D．
求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),等邊三角形的判定

專題：證明題

分析：連接OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，而DE⊥AC，則可判斷OD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BOD=∠C，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C，則∠B=∠BOD，易得△ODB為等邊三角形，得到∠B=60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得到△ABC為等邊三角形．

解答：證明：連接OD，如圖，
∵DE與半⊙O相切于點D，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠BOD=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BOD，
∴DB=DO，
∵OD=OB，
∴OB=OD=BD，
∴△ODB為等邊三角形，
∴∠B=60°，
而△ABC為等腰三角形，
∴△ABC為等邊三角形．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．