Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0，常數(shù)k＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，2），B（m，n），（m＞1），過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為C．
（1）若△ABC的面積為2，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）是否存在點(diǎn)B，使△ABC為等腰直角三角形？

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A（1，2）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上，確定k=2，而B(niǎo)（m，n）在函數(shù)y=$\frac{2}{x}$圖象上，則mn=2，再根據(jù)面積公式得到$\frac{1}{2}$•m•（2-n）=2，即2m-mn=4，即可求出m和n，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)A（1，2）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上，
∴k=1×2=2，即函數(shù)y=$\frac{2}{x}$，
而B(niǎo)（m，n）在函數(shù)y=$\frac{2}{x}$圖象上，
∴mn=2，
又∵△ABC的面積為2，
∴$\frac{1}{2}$•m•（2-n）=2，即2m-mn=4，
∴m=3，
∴n=$\frac{2}{3}$，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，$\frac{2}{3}$）；

（2）存在，
∵△ABC的等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AC=AB，
∴m=2，
∵而B(niǎo)（m，n）在函數(shù)y=$\frac{2}{x}$圖象上，
∴n=1，
∴B（2，1）．
∴存在點(diǎn)B，使△ABC為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題的解法：先設(shè)某些點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用幾何性質(zhì)表示其他點(diǎn)的坐標(biāo)或求其他圖象的解析式，然后再利用幾何性質(zhì)建立等量關(guān)系求未知字母的值．