Question

6．已知點(diǎn)A（0，-4），B（8，0）和C（a，-a），若過點(diǎn)C的圓的圓心是線段AB的中點(diǎn)，則這個(gè)圓的半徑的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用點(diǎn)C的坐標(biāo)可判斷點(diǎn)C在直線y=-x上，在確定AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，-2）過D點(diǎn)作DC垂直直線y=-x于點(diǎn)C，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)CD為過點(diǎn)C的圓的最小半徑，再求出直線CD的解析式為y=x-6，
通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-3），然后利用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算CD的長即可．

解答 解：∵C（a，-a），
∴點(diǎn)C在直線y=-x上，
設(shè)AB的中點(diǎn)D，則D（4，-2）
過D點(diǎn)作DC垂直直線y=-x于點(diǎn)C，此時(shí)CD為過點(diǎn)C的圓的最小半徑，
∵CD⊥直線y=-x，
∴直線CD的解析式可設(shè)為y=x+b，
把D（4，-2）代入得4+b=-2，解得b=-6，
∴直線CD的解析式為y=x-6，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-3），
∴CD=$\sqrt{（4-{3}^{2}+（-2+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即這個(gè)圓的半徑的最小值為$\sqrt{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是直線y=-x與圓相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)．