Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=b，BC=a，AB=c，∠A與∠B的平分線交于點(diǎn)O，O到AB的距離為OD．試探究OD與a、b、c的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得OD=OE=OF，然后證得四邊形EOFC是正方形，從而證得OE=OF=FC=EC=OD，AE=AD，BD=BF，通過AB=AC-OD+BC-OD即可求得；

解答：解：：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵∠BAC、∠ABC的平分線，OD⊥AB，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形EOFC是正方形，
∴OE=OF=FC=EC=OD，
在RT△OAE和RT△OAD中，

OE=OD OA=OA

，
∴RT△OAE≌RT△OAD（HL），
∴AE=AD，
同理：BD=BF，
∴AE+EC=AD+OD=AC=b，BF+CF=BD+OD=BC=a，
∴AD=b-OD，BD=a-OD，
∴AD+BD=a+b-2OD，即c=a+b-2OD，
∴OD=

1

2

（a+b-c）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)以及正方形的判定和性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．