Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，CE與BA的延長線相交于F點．連接DF．
（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．
（2）若ACDF是矩形，試探求∠1與∠2之間的關系．

Answer 1

（1）證明：∵平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，
∴AE=ED，BF∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，∠AEF=∠DEC（對頂角），
∴△AEF≌△DCE，
∴AF=CD，
又BF∥CD，
即AF∥CD，
∴四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）解：∠1=2∠2；
∵根據矩形的性質得AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
又由平行四邊形ABCD得∠EAC=∠2，
∴∠EAC=∠ECA=∠2，
∴∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．
分析：（1）由已知平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，可得AE=ED，BF∥CD，則∠FAE=∠CDE，∠AEF=∠DEC（對頂角），所以AF=CD，再利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得其為平行四邊形；
（2）根據矩形的性質得AE=CE，則∠EAC=∠ECA，又由平行四邊形ABCD得∠EAC=∠2，所以∠EAC=∠ECA=∠2，從而得∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．
點評：此題考查的是平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質及矩形性質的綜合運用．