Question

如圖，一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B．二次函數(shù)的圖象與y軸的正半軸相交于點(diǎn)C，與這個(gè)一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A、D，且sin∠ACB=．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如果∠CDB=∠ACB，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

解：（1）對(duì)于y=x+1，令y=0，則x=-1；x=0，則y=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），OA=1；B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），OB=1，
∴AB=，
在Rt△AOC中，∵sin∠ACB==，OA=1，
∴AC=，
∴OC=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，
∵∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC=AC：AB，即AD：=：，
∴AD=5，
∵DE∥BO，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=AE=AD=×5=5，
∴OE=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，5），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+3，
∴，
∴解得，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+x+3；
當(dāng)點(diǎn)D在射線BA上，如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，
∵∠CDB=∠ACB，∠CBA=∠DBC，
∴△BAC∽△BCD，
∴BC：BD=BA：BC，即2：BD=：2，
∴BD=2，
∴AD=DB-AB=2-=，
∵△ADE為等腰直角三角形，
∴DE=AE=AD=×=1
∴OE=OA+AE=2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-1），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+3，
把D（-2，-1），A（-1，0）代入得，解得，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²+4x+3．
分析：（1）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則OA=1，OB=1，AB=，再根據(jù)正弦的定義得sin∠ACB==，而AO=1，則AC=，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OC=3，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；
（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥x 軸，垂足為E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根據(jù)相似的判定得△ABC∽△ACD，則AD：AC=AC：AB，即AD：=：，
可計(jì)算出AD=5，易得ADE為等腰直角三角形，則DE=AE=AD=×5=5，OE=4，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，5），然后設(shè)一般式，利用待點(diǎn)系數(shù)法求過A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函數(shù)的解析式；當(dāng)點(diǎn)D在射線BA上，如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E，與前面的解法相同．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；運(yùn)用相似三角形的判斷與性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算有關(guān)線段的長(zhǎng)度；正確運(yùn)用分類討論的思想．