Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-5ax+4a （a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為D．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若AD⊥BC，垂足為P，求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，連接BD，若直線y=x+m把△ABD的面積分為1：3的兩部分，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴ax²-5ax+4a=0
∵a≠0，
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4
∴A（1，0），B（4，0）．

（2）（方法一）連接AC、CD，由對(duì)稱性知：四邊形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA，
在△ABC與△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠1=∠2
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）
把C（0，4）的坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-5x+4．
（方法二）∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為B、D，
∴AD、BC的交點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，
∴PA=PB
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）
把C（0，4）的坐標(biāo)代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x²-5x+4．
（3）∵直線y=x+m與x軸的夾角為45°，
∴直線y=x+m平行于AD，
設(shè)直線y=x+m交AB于E，交BD于F，
∴△BEF∽△BAD，
當(dāng)S_△BEF：S_△BAD=1：4，
∴BE：BA=1：2，
∴BE=，AE=3-=，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
把E（，0）代入y=x+m，得+m=0，
∴m=-，
當(dāng)S_△BEF：S_△BAD=3：4，
∴BE：BA=：2，
∴BE=，
∴AE=3-
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4-，0），
把E（4-，0）代入y=x+m，得4-+m=0，
∴m=-4+．
所以m的值為-或-4+．
分析：（1）A、B兩點(diǎn)為x軸上的點(diǎn)，故其總坐標(biāo)為0，令y=0解方程即可；
（2）根據(jù)圖形特點(diǎn)，可以利用相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再代入解析式求出a的值；
（3）根據(jù)題意可確定，直線x=m與x軸交點(diǎn)在線段AB上，S_△AMN=S_△ABD和S_△AMN=S_△ABD兩種情況利用三角形面積公式解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，將二次函數(shù)與三角形與等腰梯形相結(jié)合，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的作用，解答此題的關(guān)鍵是充分利用解析式每一項(xiàng)都含a的特點(diǎn)及特殊三角形和等腰梯形的性質(zhì)．