Question

（2012•葫蘆島）如圖1和2，四邊形ABCD是菱形，點P是對角線AC上一點，以點P為圓心，PB為半徑的弧，交BC的延長線于點F，連接PF，PD，PB．
（1）如圖1，點P是AC的中點，請寫出PF和PD的數(shù)量關系：

PF=PD

；
（2）如圖2，點P不是AC的中點，
①求證：PF=PD．
②若∠ABC=40°，直接寫出∠DPF的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)菱形的對角線互相平分得出PB=PD，而由已知有PB=PF，則PF=PD；
（2）①先由菱形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAC=∠DAC，再由SAS證明△ABP≌△ADP，得出PB=PD，又PB=PF，則PF=PD；
②由于PB=PD=PF，以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點B、F、D都在圓P上，連接BD，則∠DPF=2∠DBF=∠ABC=40°．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴PB=PD，
∵PB=PF，
∴PF=PD．
故答案為：PF=PD；

（2）①證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC．
在△ABP和△ADP中，

AB=AD ∠BAP=∠DAP AP=AP

，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PF，
∴PF=PD．

②解：以P為圓心，PB為半徑作圓P，則點B、F、D都在圓P上，連接BD．
由圓周角定理，可得∠DPF=2∠DBF，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC=2∠DBF，
∴∠DPF=∠ABC=40°．

點評：此題考查了菱形的性質(zhì)與判定、軸對稱性與中心對稱性．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．