Question

把一張10厘米長，8厘米寬的矩形紙板四周各剪去一個相同的正方形，再折成一個無蓋長方體盒子．
（1）折成的盒子側(cè)面積有最大的情況嗎？若有，請求出最大值和減去正方形邊長的值；若沒有請說明理由；
（2）如果把矩形紙板四周分別減去兩個相同的正方形和長方形，然后折成一個有蓋的長方體盒子，是否有側(cè)面積有最大的情況？若有，請求出最大值和減去正方形邊長的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）利用已知圖形邊長與面積之間的關(guān)系得出解析式，進一步利用性質(zhì)和配方法探討最值問題即可；
（2）分兩個方向截取：當長方體的盒子頂蓋在10cm方向取時，設(shè)盒子長為b；當長方體的盒子頂蓋在8cm方向取時，設(shè)盒子長為b，利用長方體盒子的側(cè)面積求得二次函數(shù)，進一步求得最值，比較得出答案即可．

解答：解：（1）設(shè)剪去正方形的邊長為x厘米，折成的盒子側(cè)面積為S，則
S=2x（10-2x）+2x（8-2x）
=-8x²+36x
=-8（x-

9

4

）²+

81

8

即折成的盒子側(cè)面積有最大的情況，當剪去正方形邊長為

9

4

厘米，側(cè)面積最大為

81

8

平方厘米．
（2）設(shè)減去的正方形的邊長為a厘米，
當長方體的盒子頂蓋在10cm方向取時，設(shè)盒子長為b，
有10=2a+2b
即b=5-a
側(cè)面積S=2a（8-2a）+2a（5-a）=26a-6a²=-6（a-

13

6

）²+

169

6

，
當a=

13

6

厘米時，S有最大值為

169

6

平方厘米；
當長方體的盒子頂蓋在8cm方向取時，設(shè)盒子長為b，
有8=2a+2b
即b=4-a
側(cè)面積S=2a（10-2a）+2a（4-a）=28a-6a²=-6（a-

7

3

）²+

98

3

，
當a=

7

3

厘米時，S有最大值為

98

3

平方厘米；
比較兩個取上蓋的方向，顯然，在8cm方向取時，側(cè)面積較大，
即當a=

7

3

厘米時，S有最大值為

98

3

平方厘米．

點評：此題考查二次函數(shù)的實際運用，利用長方體的側(cè)面面積建立函數(shù)，進一步利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，滲透分類探討的思想．