Question

如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動點E（與點A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點。

（1）當△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時，求CE的長；
（2）當△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等時，求CE的長；
（3）試問在AB上是否存在點P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出EF的長。

Answer 1

解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等 ∴S△ECF：S△ACB=1：2 又∵EF∥AB　　 ∴△ECF∽△ACB ∴且AC=4 ∴CE=。 （2）設(shè)CE的長為x ∵△ECF∽△ACB ∴ ∴CF= 由△ECF的周長與四邊形EABF的周長相等，得 解得 ∴CE的長為。
（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況： ①如圖1，假設(shè)∠PEF=90°，EP=EF。 由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90° ∴Rt△ACB斜邊AB上高CD= 設(shè)EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得 ，即 解得，即EF= 當∠EFP′=90°，EF=FP′時，同理可得EF=。
②如圖2，假設(shè)∠EPF=90°，PE=PF時，點P到EF的距離為 設(shè)EF=x，由△ECF∽△ACB，得 ，即 解得，即EF= 綜上所述，在AB上存在點P，使△EFP為等腰直角三角形 此時EF=或EF=。