Question

（2011•西城區(qū)模擬）如圖，△ABC中，AB＞AC，D為AB邊上一點(diǎn)，AD=BC，記∠BCD，∠B的度數(shù)分別為α，β．
（1）當(dāng)β=30°時，若∠ACD=α+β，則α=

45

°；
（2）若2α+3β=180°，請用α，β的代數(shù)式表示∠ACD的度數(shù)并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）∠ADC=∠α+∠β=∠ACD，可以得出AD=AC，由條件可以得出AC=BC，則有∠B=∠A，繼而利用三角形的內(nèi)角和就可以求解；
（2）作△BDC關(guān)于CD的對稱圖形△CDE，連接AE，利用軸對稱的性質(zhì)和角的關(guān)系得出EF=DF，進(jìn)而得出AF=FC，得出∠6=∠7，從而可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠ADC=∠α+∠β，且∠ACD=α+β，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AD=AC，
∵AD=BC，
∴AC=BC，
∴∠A=∠B=β．
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴β+α+α+β+β=180°．
∵β=30°，
∴30°×3+2α=180°，
∴α=45°．
故答案為：45°

（2）∠ACD=α+β
證明：將△BCD沿CD所在的直線翻折到同一平面內(nèi)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，連接AE，AD、CE的交點(diǎn)為F．
∴△ECD≌△BCD，
∴EC=BC，∠2=∠1=α，∠3=∠B=β，∠CDE=∠CDB．
∵2α+3β=180°，
∴∠CDE=∠CDB=180°-∠B-∠1=（2α+3β）-（α+β）=α+2β．
∵AD=BC，
∴AD=CE．
∵∠CDE=∠4+∠5，5=∠B+∠1=α+β，
∴∠4=∠CDE-∠5=α+2β-α-β=β，
∴∠4=∠3，
∴EF=DF．
∴AD-DF=CE-EF，即AF=CF，
∴∠6=∠7．
∵∠CFD同時是△DEF和△ACF的外角，
∴∠CFD=∠3+∠4=2∠3，∠CFD=∠6+7=2∠6
∴∠6=∠3=β，
∴∠ACD=∠2+∠6=α+β．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用．