Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)，DE與BC交于點(diǎn)F，∠CEA=∠ODB．
（1）請(qǐng)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)AB=12，BF=3

3

時(shí)，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字，

3

≈1.73，π≈3.14）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）要證直線BD和⊙O相切，通過(guò)∠BOD=∠BAC，因?yàn)椤螧AC+∠ABC=90°，所以證明OB⊥BD即可；
（2）S_陰影=S_△OBD-S_扇形OBE．

解答：（1）解法一：直線BD與⊙O相切．
證明如下：
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ODB．
∵點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB=90°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠DBC+∠ODB=90°，
∴直線BD與⊙O相切；
解法二：直線BD與⊙O相切．
證明如下：如圖，連接AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠OFB=90°=∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠CAB=∠DOB．
∵∠CEA=∠ODB=∠ABC，
∴∠CAB+∠CBA=∠DOB+∠ODB=90°，
∴∠DBO=90°，
∴直線BD與⊙O相切；

（2）解：∵點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，
∴∠OFB=90°．
∵BO=

1

2

AB=6，
∴sin∠DOB=

BF

BO

=

3 3

6

=

3

2

，
∴∠DOB=60°．
∵∠OBD=90°，
∴tan60°=

BD

OB

=

BD

6

=

3

，
∴BD=6

3

，
∴S=

6×6 3

2

-

60π×62

360

=18

3

-6π≈18×1.73-6×3.14≈12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積計(jì)算，切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．