Question

（本題滿分9分）如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點

D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

 

Answer 1

（1）直線DE與⊙O相切，見解析；（2）4

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由AD平分∠BAC ，EA∥OD證出OD⊥DE,即可得證直線DE與⊙O相切；

（2）作DF⊥AB，垂足為F，證明△EAD≌△FAD，得出OA＝OD＝5，OF＝3，再由勾股定理得DF＝4，進而求出DE＝DF＝4.

試題解析：（1）直線DE與⊙O相切．

理由如下：連接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD．

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD．

∴∠ODA＝EAD．

∴EA∥OD．

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD．

又∵點D在⊙O上，∴直線DE與⊙O相切．

（2）如圖，作DF⊥AB，垂足為F．

∴∠DFA＝∠DEA＝90°．

∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，

∴△EAD≌△FAD．

∴AF＝AE＝8，DF＝DE．

∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．

在Rt△DOF中，由勾股定理，得DF＝4

∴DE＝DF＝4．

考點：切線的性質(zhì)和判定,勾股定理