Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，點(diǎn)M、N同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在AB、AD（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。

（1）設(shè)ND的長(zhǎng)為x，用x表示出點(diǎn)N到AB的距離，并寫出x的取值范圍。
（2）當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時(shí)，請(qǐng)判斷△AMN的形狀。

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)N作BA的垂線NP，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P 由已知，AM=x，AN=20-x ∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°， ∴∠PAN=∠D=30°， 在Rt△APN中，PN=ANsin∠PAN=（20-x）， 即點(diǎn)N到AB的距離為（20-x） ∵點(diǎn)N在AD上，0≤x≤20，點(diǎn)M在AB上，0≤x≤15， ∴x的取值范圍是：0≤x≤15。
（2）根據(jù)（1），S△AMN=AM·NP=x（20-x）= ∵＜0， ∴當(dāng)x=10時(shí)，S△AMN有最大值 又∵S五邊形BCDNM=S梯形-S△AMN，且S梯形為定值 ∴當(dāng)x=10時(shí)，S五邊形BCDNM有最小值 當(dāng)x=10時(shí)，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN 則當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時(shí)，△AMN為等腰三角形。